رساله gl/l (479)

269ad747c93a42.jpg" />

روش Bayesian در آزمون فرض هاي فازي :

خلاصه: در تعميم هاي آماري ممكن است با مفهوم هاي غيردقيق (فازي) مواجه شويم. يك نمونة مهم وضعيتي است كه مي خواهيم فرض هايي را كه فازي هستند، بيازماييم. در اين مقاله، آزمون فرض هاي فازي را براساس روش Bayesian موردبررسي قرار داده و تحليل مي كنيم. ما روش خود را با مثال هاي متعدد توضيح داده و آنرا با كارهاي قبلي در خصوص اين موضوع مقايسه مي كنيم.

مقدمه:

روشهاي Bayesian غالباً د رتحليل مفهومهاي درون گرايانه به كار مي روند. از سوي ديگر، تئوري مجموعه هاي فازي يك وسيلة شناخته شده براي فرمول بندي و تحليل مفهومات درون گرايانه و غيردقيق است. تحقيقي با توجه به روش هاي Bayesian وجود دارد كه با ايده هايي از تئوري مجموعة فازي تركيب شده است. Okude و ديگران [8] ، Tanka و ديگران [10] ، و [11] Umeura قانون تصميم نامعلوم Bays را جهت تسهيل تعيين تابع زيان يك قانون تصميم Bayesian در يك محيط فازي، فرمول بندي كرده اند. تعميم قضية Bayes براي اطلاعات فازي به عنوان نمونه موردبررسي برخي از نويسندگان قرار گرفته است. [12 , 13] . برآورد كنندة فازي Bayes توسط Gil و ديگران معرفي شد schatler [7] روش هاي Bayesian را براي نمونه هاي اطلاعات فازي و براي اطلاعات فازي پارامترهاي فازي پيشين تعميم داده است. تعميم روش Baysion براي آزمودن فرض هاي ساده توسط Casals و ديگران ارائه شده است [2,3] . آنها مسئله آزمون فرض هاي آماري معمولي (مشخص) را در زمانيكه مشاهده ها هيچ اطلاعات دقيقي بدست نميدهند، مورد بررسي قرار دادند. Delgado و ديگران [6] مسئله آزمون فرضهاي فازي Bay… با اطلاعات معمولي را مورد بررسي قرار داده است. Caslas [4] روي همين كار، اما با اطلاعات فارني كاركرد كه به عنوان يك نمونه خاص از مسئله تصميم فازي است [10] در اين مقاله ما مسئله آزمون فرض ها را در زمانيكه اطلاعات (مشاهدات) معمولي (شاخص) و زمانيكه فرض ها فازي هستند موردتوجه قرار مي دهيم، مثلاً: ( تقريبي است، ( خيلي بزرگ است و غيره. اين مقاله به روش زير سازمان دهي شده است: در بخش 2، چند تعريف و مقدمات را مطرح مي كنيم. يك روش B.. براي آزمون فرض هاي فازي در بخش 3 ارائه شده است. در بخش 4 چندين مثال آورده شده است. در بخش 5 ، كارهاي قبلي روي اين موضوع بررسي شده و با روش ما مقايسه شده اند. بعضي از مزيت هاي روش ما نشان داده شده است.

شكل 1

2ـ مقدمات: تعريف 1ـ2 :

هر فرضي كه به شكل "H:(، H(() است" باشد، يك فرض فازي ناميده مي شود، كه H(() يك تابع عضويت روي ( است، يعني يك تابع از ( به [0,1] . توجه كنيد كه فرض هاي معمولي "" يك فرض فارني با تابع عضويت در "" در و صفر در جاي ديگر است.

مثال 1ـ2: فرض كنيد ( پارامتريك توزيع در جمله اي است تابع زير را درنظر بگيريد:

(1)

0 ( θ

H (θ ) = 2 – 2 θ , ½ ( θ

Elsewhere. 0 ,

عبارت «o، M(0) است» يك فرض نامعلوم است و يعني «( تقريباً » است. (شكل 1). مسئله اصلي: فرض كنيد يك نمونة تصادفي با مقدار مشاهدة باشد كه ، را با مجهول دارد، كه چگالي پيشين آن ((() است. فرض كنيد دو تابع عضويت و مفرض اند.

مي خواهيم

(2)

H0 : 0 Is H0 (0) ,

H1 : θ is H1( θ )

را براساس يك روش Baysian بيازماييم. اول، بايد برخي از تعاريف تئوري تصميم را يادآوري نمائيم. فرض A فضاي عمل ها و ((, a): ((A ( يك تابع زيان باشد. مقدار ((,a) ( زيان است در صورتيكه عمل a را وقتي ( مقدار پارامتري صحيح است، انتخاب كنيم فرض كنيد D طبقة تابع هاي تصميم باشد كه را به A بگاشت مي كند. تابع R:((D(R({0} با R((,d)=EL((,d(x)) تعريف مي شود و معروف به تابع خطر مربوط به d در ( است. يك چگالي پيشين ((0) را براي ( درنظر بگيريد و فرض كنيد f(x /() ، p.d.f. شرطي X با ((( ثابت باشد. چگالي شرطي ( با فرض X=x تابع پسين ( ناميده شده و با ((( | x) نمايش داده مي شود. دو رابطه زير شناخته شده هستند:

(3)

π ( θ )ƒ ( X | θ ) , (θ X ) π

ƒ (x , θ ) = π ( θ ) ƒ (x | θ) = ƒ X ( X ) π (θ x).

خطر Bayes يك تصميم d ، همراه با توزيع پيشين ( به صورت زير مي شود: R((,d)=ER((,d) . براساس تعريف هاي بالا، يك تصميم d* يك قانون Bayes است در صورتيكه خطر Bayes را كاهش دهد، يعني اگر

(4)

R (π , d *) = inf R(π , d) .

3ـ آزمون فرض هاي فازي:

در اين بخش به بررسي يك مجموعه از عمل هايي با دو نقطة و مي پردازيم، كه مطابق با پذيرش و مطابق با رد است. در تضاد با مسائل كلاسيك، به جاي فرض هاي معمولي (مشخص) فرض هاي فازي را داريم.

آزمون Bayes بدون تابع زيان: مسئلة آزمون فرضرا در تقابل با در نظر بگيريد، كه براساس يك نمونة تصادفي از f(x|() با يك چگالي پيشين((() براي( است.
تعريف 1-3: يك آزمون Bayes را رد مي كند، در صورتيكه چگالي پيشين تحت ، كه با بر روي 0 سنجيده ميشود، كمتر از چگالي پسين تحت باشد، كه با روي ( سنجيده مي شود. يعني اگر
(5)

(θ | x) HO ( θ ) d θ

از يك ديدگاه ديگر، دو عضو نابرابري بالا متناظر با احتمالات پسين فرض هاي و (به عنوان دوپيشامد فازي) براساس احتمال هاي القايي zadeh است.

نكتة 1-3: در واقع ايدة تعريف 1-3 براساس جايگزيني توابع نشانگر (در مورد فرض هاي معلوم) به جاي تابع عضويت براي هر فرض فارني است. توجه كنيد كه اگر و و دو فرض معمولي هستند، داريم:

(6)

1, θ € Θ 0, 0, θ € Θ 0,

H 0(θ ) = H 1 (0) =

1. Θ θ € 1, 0, θ € Θ 0

در نتيجه

(7)

∫ π (θ x ) H0 (θ ) dθ = ∫ Θ0 π (θ | x ) dθ

= p (0 € Θ0 | x ) ,

در اين مورد تصميم به قبول مي گيريم اگر و تنها اگر

(8)

P ( θ € Θ 0 | x ) ≥ p (θ € Θ 1 x).

بنابراين، تعريف معمولي يك آزمون B يك نمونة خاص از تعريف بالاست (به عنوان مثال [5, p.355] را ببينيد). در بعضي موارد دو مقدار

(9)

X0 = ∫ π (θ | x ) H0 (θ) d θ ,

X1 = ∫ π (θ | x ) H1 (θ) d θ

ممكن است به يكديگر نزديك باشند. پس از ديدگاه عمل بخصوص وقتي در يك محيط فازي عمل مي كنيم، معرفي يك معيار با توجه به درجه قطعيت دربارة تصميمات ، سودمند است. بنابراين تعريف زير را ارائه مي دهيم.

تعريف 2-3: فرض كنيد در تعريف بالا، آزمون B ، را قبول مي كند. آنگاه مقدار درجه قبول در تقابل با ناميده مي شود.

يك مقدار مشابه را مي توان وقتي كه قبول مي شود، تعريف كرد. توجه كنيد كه لازم نيست مجموع و يك شود. مانند موارد معمولي، مي توانيم معياري را براي مقايسة و تعريف كنيم.

تعريف 3-3: / را نسبت بخت پسين به ناميده و عبارت زير را نسبت بخت پيشين مي ناميم:(()d( ((()/(()d( (((). توجه كنيد كه اگر اطلاعات و فرض هر دو مشخص باشند، تعاريف معمولي از نسبت بخت پيشين و نسبت بخت پسين داريم ([1, p.146] را ببينيد).

تعريف 4-3: براي آزمودن فرض « ،» در تقابل با هر « ،» ، تابع زيان زير را تعريف مي كنيم:

(10)

L (θ , a0 ) = a (θ ) [ 1 – H0 (θ ) ],

L (θ , a1 ) = b (θ ) [ 1 – H1 (θ ) ]

در حاليكه a(() و b(() دو تابع معمولي مثبت هستند. انتخاب a(() و b(() بستگي به حساسيت ما نسبت به رد اشتباه يا قبول اشتباه دارد.

قضية 1-3: اگر

(11)

L (θ , a0 ) = a (θ ) [ 1 – H0 (θ ) ] ,

L (θ , a1 ) = b (θ ) [ 1 – H1 (θ ) ] ,

آنگاه آزمون را مي پذيرد در صورتيكه

(12)

(θ) ]π (θ | X ) d θ ∫ a (θ) [1 – H0

b (θ) [1 – H1 ( θ ) ] π (θ| X ) d θ ∫ ≥

اثبات؛ طبق تعريف بايد

(13)

R ( π , d ) = E0R (0 , d )

= E X { E θ | X = X [ L ( θ , d ) ]} ,

را مينيمم سازي كنيم. در حاليكه (|X=x يعني آن انتظار با توجه به (((|X=x) انتخاب مي شود. بنابراين كافي است عبارت زير مينيمم سازي شود:

(14)

(14)

E θ | X = X [ L ( θ , d ) ]

(θ) ] π (θ | X ) d θ, d ( x ) = a0 , ∫ a (θ)[1 – H0 =

(θ) ] π (θ | X ) d θ, d ( x ) = a1 , ∫ b (θ)[1 – H1

و اين ادامه مي يابد تا را بپذيريم، يعني =d(x) ، اگر و تنها اگر

(15)

(θ) ] π (θ | X ) d θ ∫ a (θ)[1 – H0

(θ ) ] π (θ | X ) d θ b (θ)[1 – H1 ∫ ≥

نتيجه 1-3: اگر =a(() و =b(() (و ثابت هستند)، آنگاه آزمون B را مي پذيرد اگر و تنها اگر:

(16)

1- ∫ H1(θ) π (θ | X ) d θ CII

1- ∫ H0(θ) π (θ | X ) d θ CI

در اين مورد مربوط به هزينة يك خطاي نوع I است، يعني خطايي كه اشتباهاً را رد مي كند، و مربوط به هزينة يك خطاي نوع II است، يعني خطايي كه اشتباهاً را قبول مي كند. توجه كنيد كه اگر=، آنگاه تعريف 1-3 را خواهيم داشت.

4ـ مثال:

در سه مثال نخست، به تابع زيان به طور صريح توجه نمي كنيم، ولي در مثال آخر به يك تابع زيان اشاره مي كنيم.

مثال 1-4: فرض كنيد يك نمونة تصادفي با مقدار مشاهدة از b (1,0) ، (((0,1) باشد. فرض كنيد چگالي پيشين ( ، U(0,1) باشد. پيداست كه چگالي پسين (|X=x عبارتست از Beta (y+1, n-y+1) يعني

(17)

π (θ | X = x ) = ( n + 1 ) ! θy ( 1 – θ ) n-y,

y ! ( n –y ) !

در حاليكه . اكنون مي خواهيم فرض هاي زير را بيازماييم.

(18)

H0 : θ ~ ½ ,

H1 : 0 ~ 1 ,

3

در حاليكه يعني اينكه «( تقريباً » و يعني «( تقريباً » . آنگاه تابع هاي عضويت عبارتند از :

(شكل 2)

براساس تعريف 1-3، را رد مي كنيم اگر و تنها اگر

2 θ, 0

H0 (θ) =

2 – 2θ , ½ ≤ θ

3 θ, 0

3

H1 (θ) = 2 – 3θ , 1 ≤ θ

3 3

0 , θ > , 2

3

يا

∫ Oy (1 – 0) n – y H0 ( 0 ) d 0

≤ ∫ Oy (1 – 0) n – y H1 ( 0 ) d 0

Or

1/2

2 ∫ θy + 1 ( 1 – θ) n – y dθ

0

1

+2 ∫ θy + 2( 1 – θ) n – y dθ

1/2

1/3

0

2/3

+3 ∫ θy + 2( – θ) ( 1 – θ) n – y dθ.

1/3

در جدول 1، آزمون B براي n=5 و y=0,1,…,5 تعيين شده است. براي اين محاسبات از نرم افزاي MAPLE استفاده كريم. به عنوان مثال اگر y=1 را مشاهده كنيم، را با درجة قبولي 0.52 قبول مي كنيم، و در اين مورد نسبت بخت پسين به ، 0.91 است؛ در مقابل اگر y=2 را مشاهده كنيم، را با درجة قبولي 0.56 قبول مي كنيم و در اين مرود نسبت بخت پسين به ، 127 است.

جدول 1

S . M . Tuheri , j . Behboodian | Fuzzy and Systems 123 (2001) 39-48

Table 1

The results of calculations for Example 4.1
y 0 1 2 3 4 5

∫ π(θ|x) H0(θ) dθ 0.281 0.531 0.688 0.688 0.531 0.281
∫ π(θ|x) H1(θ) dθ 0.379 0.584 0.543 0.337 0.132 0.025
Bayes test AH1 AH0 AH0 AH0 AH0 AH0
Degree of acceptance 0.57 0.52 0.56 0.67 0.80 0.92
Posterior odds ratio 0.74 1.91 1.27 2.04 4.02 11.24

شكل 3

مثال 2-4: در مثال 1-4 مي خواهيم فرض هاي زير را بيازماييم:

و تابع هاي عضويت عبارتند از (شكل 3)

(20)

H0 : θ is more or less ½ ,

H1 : θ is away from ½

براساس تعريف 1-3، را رد مي كنيم اگر و تنها اگر

(21)

40 -1, 1

4 2

H0 (θ) = 3 – 4θ , 1 ≤ θ

2 4

0 , otherwise

1- 20 , 0

2

H0 (θ) = 2θ – 1, 1 ≤ θ

2

1/2

∫ (4θ – 1 ) θy ( 2 – 0)( 1 – 0) n – y dθ

1/4

3/4

+ ∫ (3 – 4θ ) θy ( 1 – θ) n – y dθ

1/2

1/2

0

1

+ ∫ ( 2θ – 1 ) θy ( 1 – θ) n – y dθ

1/2

در جدول 2، آزمون B براي n=5 و y=0,1,…,5 تعيين شده است.

مثال 3-4: در مثال 1-4، مي خواهيم فرض هاي زير رابيازماييم. : كوچك است، بسيار كوچك است. در حاليكه «كوچك» و «بسيار كوچك» بوسيلة تابع هاي عضويت زير مشخص مي شوند:

(22)

H0 : θ is small,

H1 : θ is approximately ½ ,

فرض كنيد چگالي پيشين ( عبارتست از Beta (3,1) ، يعني

(23)

H0 (0) = 1 – θ , H1 (0 ) = (1- θ )2 , 0

بنابراين چگالي پسين ( عبارتست از Beta (y+3 , n-y+1) ، يعني:

(24)

θ( π|x = x ) = 21! θy (1- θ) 20-y ,

y! (20 – y ) !

جدول 2

S . M . Tuheri , j . Behboodian | Fuzzy and Systems 123 (2001) 39-48

Table 2

The results of calculations for Example 4.2
y 0 1 2 3 4 5

∫ π(θ|x) H0(θ) dθ 0.067 0.251 0.432 0.432 0.251 0.067
∫ π(θ|x) H1(θ) dθ 0.0719 0.469 0.312 0.312 0.469 0.719
Bayes test AH1 AH0 AH0 AH0 AH0 AH0
Degree of acceptance 0.91 0.65 0.58 0.58 0.65 0.91
Posterior odds ratio 0.09 0.54 1.38 1.38 0.54 0.09

براساس تعريف 1-3، را رد مي كنيم اگر و تنها اگر:

(25)

∫ θy+2 (1-θ ) n – y H0 (θ) dθ

∫ θy+2 (1-θ ) n – y H1(θ) dθ >

يا

(26)

1/2

2 ∫ θy + 1 ( 1 – θ) n – y dθ

0

1

+2 ∫ θy + 2( 1 – θ) n – y dθ

1/2

1/3

0

2/3

+3 ∫ θy + 2( – θ) ( 1 – θ) n – y dθ.

1/3

در جدول 3، آزمون B براي n=5 و y=0,1,…,5 تعيين شده است.

S . M . Tuheri , j . Behboodian | Fuzzy and Systems 123 (2001) 39-48

Table 3

The results of calculations for Example 4.3
Y 0 1 2 3 4 5

∫ π(θ|x) H0(θ) dθ 0.618 0.722 0.722 0.618 0.435 0.221
∫ π(θ|x) H1(θ) dθ 0.638 0.560 0.392 0.168 0.054 0.009
Bayes test AH1 AH0 AH0 AH0 AH0 AH0
Degree of acceptance 0.51 0.56 0.65 0.79 0.89 0.96
Posterior odds ratio 0.97 1.29 1.84 3.68 8.06 24.56

Table 4

The results of calculations for Example 4.4
Y 0 1 2 3 4 5

1-K (y)∫ θy ( 1 – θ) 5 – yH1(θ) dθ 0.621 0.412 0.457 0.663 0.868 0.975
1-K (y)∫ θy ( 1 – θ) 5 – yH1(θ) dθ 0.719 0.469 0.312 0.312 0.469 0.719
1-K (y)∫ θy ( 1 – θ) 5 – yH1(θ) dθ
1-K (y)∫ θy ( 1 – θ) 5 – yH1(θ) dθ 0.846 0.887 1.46 2.13 1.85 1.36
Bayes test AH1 AH1 AH1 AH0 AH0 AH1

مثال 4-4: مثال 1-4 را با تابع زيان زير در نظر بگيريد.

(27)

L (θ , a0 ) = 3 [ 1 – H0 (θ ) ] ,

L (θ , a1 ) = 2 [ 1 – H1 (θ ) ] ,

در حاليكه =2 و =3 در اين مورد، براساس قضية 1-3، آزمون B ، را مي پذيرد اگر و تنها اگر:

(28)

1 – [ ( n + 1 ) ! / y ! ( n – y ) ! ] ∫ θy ( 1 – θ ) n – y H1 (θ) dθ > 3

1 – [ ( n + 1 ) ! / y ! ( n – y ) ! ] ∫ θy ( 1 – θ ) n – y H0 (θ) dθ 2

يا

(29)

1 – [6 ! / y ! ( 5 – y ) ! ] ∫ θy ( 1 – θ ) 5 – y H1 (θ) dθ > 3 .

1 – [6 ! / y ! ( 5 – y ) ! ] ∫ θy ( 1 – θ ) 5 – y H0 (θ) dθ 2

درجدول 4،آزمون B براي n=5 و5 و …..1و0 = y تعيين شده است براي سهولت بيشتر، !(5-y ) / ! y / !6= !(n-y ) ! y / ! (n+1 ) را با (y ) k نشان ميدهيم. 5 مقايسه با کارهاي ديگر: در بين کارهاي قبلي که بر روي آزمون فرض فازي با استفاده ازيک روش Bayesian انجام شده، اولين کار مربوط به Pelgado و ديگران[6 ] و دومين کار منسوب به Casals [4] است، در اين بخش روش خودمان را با اين کارها مقايسه کرده، و مزيتهاي کار خود را بيان ميکنيم .

5 ، مقايسه با کار Delgudo و ديگران :

ابتدا به طور خلاصه روش آنها رابيان کرده و سپس يکي از مثالهاي آنها را بررّسي مي کنيم

1-1-5 : روش دلگادو و ديگران:

مسئله آزمون فرض فازي (ө )H0 را در تقابل با (ө )H1 ، بر اساس يک نمونه تصادفي از (ө1 x)F با چگالي پيشيين (ө)π براي ө در نظر بگيريد: 1- اوّل مسئله فازي به يک خانواده از مسائل معلوم بوسيله نمايش قضييۀ مجموعه هاي فازي تبديل مي شود.به عبارت ديگر، (ө) H0 به صورت (ө) α H0 α uα = (ө) H0 نوشته مي شود که (ө) α.HO ، cut –α مربوط به (ө) 0H بوده که [1و0] є .α. يک شناسۀ مشابه براي (ө) H1 مفروض است. بنابر اين مسئله به آزمون معمولي قضيه تبديل مي شود.

(30)

H0 : θ € H 0,x,

H1 : θ € H 1,x,

€ [ 0 , 1 ] For each

2- هر مسئله کلاسيک با روش B حل مي شود و بنابراين خانواده اي از ناحيه هاي قبول ايجاد مي شود. 3- از اين خانواده، يک مجموعه فازي گرفته مي شود به عنوان دو ناحيه قبول فازي x براي مسئله فازي اصلي (اوليهّ) در نظر گرفته مي شود. 4- سرانجام، {قبول است α وH0 ∫α} Sup =0 α به عنوان درجه ماکزيمم برقراري H0 بر اساس αمي باشد. روش بالا در مقايسه با روش ما دو نقص دارد. 1- پيچيده تر است. 2- در کاربردها، تناقض هايي بوجود مي آيد. براي روشن شدن اين مطلب، مثال زبر را در نظر بگيريد: مثال 1- 5 : (نمونه سازي مجدّد 1.vI روش دلگادو و ديگران [6] فرض مي کنيد X يک نمونه تصادفي با مقدار مشاهده شدۀ α، از(αوo ) U باشد. فرض کنيد چگالي پيشين ө عبارت است از:

(31)

θe –θ , θ > 0,

π (θ ) =

0 elsewhere

مي خواهيم فرضهاي زير را بيازماييم:

(32)

H0 : θ is sufficiently greather than 10 ,

H1 : θ is not sufficiently greather than 10,

شکل 4

در حاليکه (ө) H1 مکمّل (ө) H0 است 0و(ө) H0 تابع عضويت زير را دارد(شکل 4)

(33)

0, θ

H0(θ) = (θe – 10) /5, 10 ≤ θ

1 , 15 ≤ θ .

به سادگي مي توان ديد که

(34)

ex- θ, x ≤ 0,

π (θ | x ) =

0 elsewhere

فرض کنيد cц =cI . طبق [6]، درجۀ اجرايي که شخص مي تواند به H0 با فرض مشاهدۀ x نسبت دهد عبارتست از:

(35)

xo = x- 10 – In 0.5 ^ 1 V 0,

5

در حاليکه 8و7 به ترتيب، نشانۀ min وmax هستند. اکنون فرض کنيد a=9، انگاه داريم0 =0 α ، يعني بر اساس روش بالا هيچ درجه قبولي براي H0 وجود ندارد در حالي که واضح است که ممکن است ө بسيار بزرگتر از 10 باشد، در مثالي ديگر فرض کنيد 14.5=α، انگاه داريم 1= 0α اين يعني H1 نمي تواند صحيح باشد. در حاليکه موضوع اين نيست در هر حال بر اساس روش مطرح شده در بخش 3-3 ، اين تناقض ها بوجود نمي آيند. در مثال فعلي داريم:

(36)

x0 : ∫ π (θ | x ) H0 (θ ) dθ

1 (e x-10 – e x-15), X

5

= 1 (x- 9 – e x-15 ), 10 ≤ X

5

1 , 15 ≤ X.

توجه کنيد که در اين حدود(α) H0 -1=(α)H1 ، بنابراين0 α -1 =1α. بر اساس تعريف 2-3، اگر 9=α دا ريم 7o.o =0 α، يعني درجه قبول H0 . و اگر 1405=α، داريم 98-5 =0α ، يعني درجه قبول H0 –

2-5:مقايسه با کار Casals :

همان طور که در بخش 11 اشاره شد، Casals [4] مسئله ازمون فرض نامعلوم را در صورتي که اطلاعات موجود، فازي باشد مورد بررسي قرار داده است. روش وي به عنوان يک نمونه خاص از مسئله تصميم فازي [8] مشخص شده است. روش موجود در مقالۀ فعلي شبيه به روش او است (وقتي اطلاعات معمولي است) ، ولي در يک چهارچوب نسبتاً متفاوت و با چندين مزيت: بنابراين لزومي به ارايۀ ان کار نيست، و با درصد نشان دادن چندين تفاوت و سپس برّرسي دو مثال هستيم. 1- ما مفهوم درجۀ قبولي را مطرح کرديم که به آن مي توانيم .

فرض را با دقت بيشتري مقايسه کنيم. توجه کنيد اين مفهوم امکان مقايسۀ روش ها رابا روش Delgado و…… ايجاد نمي کند. بعلاوه، نسبت بخت پسين را براي داشتن يک استنباط از نتايج تعريف مي کنيم. 2- ما اجازه مي دهيم که(ө)H0 و (ө)H1 هر يک از دو فرض فازي باشند، ولي Caslas تأکيد دارد که (ө)H0 -1 = (ө)H1 . فرض کنيد مي خواهيم ازمايش فرض هاي فازي 0 ө ≈ ө : H0 در تقابل با 1ө ≈ ө : H1 تعميم دهيم؛ انگاه (ө) H1 مکمّل (ө) H0 خواهد بود. 3- يک تابع زيان انتخاب مي کنيم که از راه ś (ө) Hi و (ө) a و(ө) b به (ө) بستگي دارد. اين امر تابع زيان را واقعي تر مي کند. Casals يک تابع زيان را با دو ثابت a وb در نظر مي گيرد، ولي ś (ө) Hi را با (ө) π ادغام مي کند تا ө d (ө) H0 (ө) пө ∫ =0 п و өd (ө) H1 (ө) π ө ∫ = 1π را به عنوان چگالي پيشيت جديد براي ө به دست آورد، توجه کنيد با انتخاب (ө) H0 -1 = (ө) H1 ) داريم : 1= 1π + π) بنابراين ، ś (ө) Hi در دو روش ولي با روش هاي به کار گرفته شده. 4- در نهايت اگر =a (ө) a وb = (ө) b بگيريم ، ونيز (ө) H0 – 1 = (ө) H1 ، انگاه همان نتيجه را بدست خواهيم اورد. به عبارت ديگر، معيار قضييۀ 5.2 از[4] و نتيجۀ 1-3 از همين مقاله، به يک ازمون ختم مي شوند. مثال 2- 5 : (نمونه سازي مجدّد 502 از Caslas [4]. يک جامعه بزرگ از حشرات را در نظر بگيريد ، يعني تناسب ө از اين جمعيت که با يک ويروس آلوده شده اند. کوچک است H0=ө ، H1=ө کوچک نيست در حالي که در کوچک، و در کوچک نبودن با توابع عضويت زير مشخص مي شوند.

(37)

H0 (0) = 1 – θ , H1 (0 ) = (1- θ )2 , 0

يک نمونه تصادفي از 20 حشره را انتخاب مي کنيم و هر حشره را براي وجود ويروس ازمايش